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  • Python - Matplotlib - scienza delle costruzioni, studio deformazione trave

Dopo aver visto alcuni esempi della libreria Python Matplotlib, come la risoluzione numerica dell'equazione della diffusione e uno studio di idrodinamica, correnti 1D, vediamo un altro caso interessante: calcolo strutturale e deformazione di una trave, soggetta ad un certo carico e con un certo schema statico.

Queste le ipotesi di partenza:

  • lunghezza trave L=5m
  • carico totale (peso proprio + carico di progetto) 1000 kg/m, di tipo uniformemente distribuito
  • schema statico semplice di tipo apoggio-appoggio
  • materiale acciaio, modulo di elasticità 2.11 * 1011 Pa
  • sezione circolare cava, con D=6cm, d=4cm, quindi momento di inerzia I=pi*(D4-d4)/64
  • ipotesi modulo di elasticità decrescente nel tempo, secondo la legge E(t)=E0*exp(-kt), k=log(2)/100, con l'ipotesi che E si dimezzi dopo 100 iterazioni di tempo (unità che si vuole, non ha importanza, dati di esempio)

L'immagine che segue riassume questo caso di studio.
schema-statico-trave

Vediamo di seguito il codice del programma e il risultato grafico con Matplotlib:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
L=5 #[m]
E0=2.1*10**11 #[Pa]
q=1000 #[kg/m]
D=0.06 #[m]
d=0.04 #[m]
N=100
I=np.pi*(D**4-d**4)/64 #[m^4]
time=0
k05=np.log(2)/100 #costante di dimezzamento
E=E0*np.exp(-k05*time)
V=np.zeros(N)
for i in range(0,N):
    V[i]=q*L**3/(24*E*I)*(i*L/N)+q/(24*E*I)*((i*L/N)**4-2*L*(i*L/N)**3)
plt.figure()
i = np.linspace(0, L, N)
plt.plot(i,-V)
plt.show()

Il grafico seguente mostra in modo semplice l'andamento della freccia, ovviamente la massima deformazione in una situazione semplice e simmetrica di questo tipo si ha per x=L/2.
grafico-appoggio-appoggio-trave-matplotlib-1

Nel codice, abbiamo indicato time=0 ovvero l'istante iniziale. Nel caso time=100 invece secondo questo esempio si ha E=E/2 ovvero la rigidezza, modulo di elasticità del materiale è dimezzato (es. usura nel tempo), si vede dai valori del grafico successivo che esso risulta più accentuato ovvero maggiore deformazione rispetto a prima (meno rigidezza del materiale, meno resistenza alla deformazione), in termini tecnici è maggiore la "freccia" (abbassamento rispetto alle condizioni di riposo).

Ora il grafico con time=100, giusto per avere un confronto dei valori.
grafico-appoggio-appoggio-matplotlib-2

    15 giorni dopo

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